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Un fluido, como el agua o el aire, consiste en un conjunto de partículas ligadas entre sí por fuerzas que actúan entre cada par de ellas y de forma homogénea (de la misma naturaleza), pero que no son lo bastante intensas como para mantener fijas las posiciones relativas de aquellas, lo que facilita su movimiento y su deformación.

El estudio de los fluidos, pese a ser un tema clásico, ha ganado relevancia últimamente debido al desarrollo de nuevos materiales, con propiedades a veces sorprendentes, al estudio de los plasmas en una aproximación macroscópica y también porque plantea problemas teóricos y matemáticos de gran dificultad. Nuestra contribución se enmarca en un aspecto muy concreto de uno de estos problemas.

Cuando se quiere describir el estado y/o evolución de un fluido, uno se encuentra con tres parámetros importantes: la tendencia a producir remolinos (vorticidad), la tendencia a la compresión o a la expansión (divergencia) y la disipación de energía por fricciones internas o interacciones fuertes entre las partículas (viscosidad), todos ellos cuantificables.

El estudio que hemos llevado a cabo hace referencia al caso en que esta disipación no se produce (fluidos perfectos). En este sentido, en un artículo anterior¹ reciente estudiamos el caso planar (2-dimensional) en que el fluido no se puede comprimir (divergencia nula), conservando entonces su volumen, aunque no así su forma, y solo puede formar remolinos. La evolución de este líquido está gobernada por las llamadas «ecuaciones de Euler». Analizamos también el caso opuesto en que no aparecen remolinos (rotacional nulo) y entonces el parámetro principal es la compresión (divergencia). En este caso, la evolución está gobernada por la llamada «ecuación de la agregación».

En el estudio de los dos casos, el fluido parte de una condición inicial ideal que es constante en una región limitada del espacio 2-dimensional i nula fuera de esta (un «patch»). Vimos que con una formulación adecuada (usando los números complejos) los dos problemas (Euler y agregación) son casos extremos de un mismo fenómeno matemático y el flujo, es decir, la corriente ocasionada por la evolución del fluido, es analítica con respecto al tiempo. Esto significa que el conocimiento de todas las características de dicho flujo en un instante cualquiera permite conocer la evolución de este en cualquier momento, tanto del pasado como del futuro, hasta que no ocurra una catástrofe que cambiaría los parámetros esenciales y, por tanto, el régimen de corriente.

En ambos casos la demostración publicada es completamente original y en el segundo (el caso de la agregación) el resultado es completamente nuevo. El primero (el caso de los líquidos o fluidos incompresibles) fue casi simultáneo a otro estudio de un equipo americano: lo publicaron unos pocos meses antes, pero utilizando una aproximación diferente a la nuestra. De hecho, nuestro método se diferencia del suyo porque permite ver que el caso de los fluidos y de la agregación, en el contexto de los «patches», son dos caras de un mismo fenómeno.

Nuestra aproximación incluye el uso de técnicas de factura propia y de una considerable sofisticación. Por otro lado, la ecuación de la agregación ha sido estudiada para espacios de cualquier dimensión y en el artíclulo² vemos que para la ecuación de la agregación se tiene el mismo fenómeno de analiticidad del flujo, cualquiera que sea la dimensión (finita) del espacio. Esto permite modelizar fenómenos aparentemente muy diferentes, entre otros, el crecimiento de una población de bacterias en una placa de cultivo, así como varios aspectos de las ciencias de los materiales o la evolución de la densidad de ciertas singularidades en superconductores. Remarcablemente, este es un motivo y también una característica del uso de las Matemáticas en la descripción de la Naturaleza. Esta investigación se enmarca en el campo de las Ecuaciones en Derivadas Parciales, donde se hace uso de técnicas de Análisis Armónico, de Análisis Complejo, así como de elementos de Combinatoria.